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Rätsel: Bestimme die Anzahl der Kinder einer Dorfschule

Die Kinder einer Dorfschule werden aufgefordert, sich in Dreierreihen auf dem Schulhof aufzustellen. Da zwei Kinder übrig bleiben, ordnet der Lehrer an, sie sollen sich in Viererreihen aufstellen. Wieder bleiben zwei Kinder übrig und der Lehrer ordnet an, sie sollen sich in Fünferreihen aufstellen. Jetzt geht es auf. Wie viele Kinder sind in der Schule?
Diese Fragestellung finden Sie bei Wikipedia (Zahlentheoretisches Rätsel).

Im Folgenden gebe ich die Lösung in Einzelschritten an:

  Voraussetzungen: mathematische Formulierung (N = Anzahl der Schulkinder)
(3)   Bei einer 3-er-Reihe bleiben 2 Kinder übrig   oder     N = i*3 + 2     oder   N/3 = i Rest 2
(4)   Bei einer 4-er-Reihe bleiben 2 Kinder übrig   oder     N = j*4 + 2     oder   N/4 = j Rest 2
(5)   Eine 5-er-Reihe geht auf   oder     N = k*5     oder   N/5 = k Rest 0

Erste Folgerungen:

  1. Wegen (4) gilt: N ist gerade
  2. Wegen (5) und weil N gerade ist, gilt weiterhin: N ist ein Vielfaches von 10

Weitere Folgerungen:

  1. Leicht zu prüfen: N != 10, d.h. 10 ist keine Lösung   ["!=" meint "ungleich"]
  2. Es gilt weiterhin: N != k*20 (k=1,2,3,...)   [bei (4) wäre Rest 0], damit auch: N != k*40 (k=1,2,3,...)
  3. Es gilt weiterhin: N != k*30 (k=1,2,3,...)   [bei (3) wäre Rest 0]
  4. Leicht zu prüfen: Aber als erstes Vielfaches von 10 ist N = 50 eine Lösung
  5. Nach 50 ist auch N = 50 + n*60 jeweils eine Lösung (n=1,2,3,...)
    n*60 lässt sich immer in Vielfache von sowohl 3 als auch 4 als auch 5 zerlegen [60 ist kleinstes gemeinschaftliches Vielfaches von 3 und 4 und 5]. Daher bleiben die Bedingungen (3), (4), (5) bei Addition von n*60 erhalten.
  6. Aus den gleichen Gründen wie oben gilt zusammengefasst:
    N != 10 + n*60 (n=0,1,2,3,...) (vergl. 3./7.)
    N != 20 + n*60 (n=0,1,2,3,...) (vergl. 4./7.)
    N != 30 + n*60 (n=0,1,2,3,...) (vergl. 5./7.)
    N != 40 + n*60 (n=0,1,2,3,...) (vergl. 4./7.), aber
    N  = 50 + n*60 (n=0,1,2,3,...) (vergl. 6./7.)

Lösung:

Die Folgerungen unter 8. umfassen alle Vielfachen von 10. Daher kommen als Lösungen nur Schülerzahlen aus der in 6. und 7. genannten Zahlenfolge infrage:

N = 50 + n*60   (n=0,1,2,3,...)

Man kann eine Folge von Zahlen (Vielfache von 10) mittels Programm darauf prüfen, ob sie die Bedingungen (3) und (4) erfüllen, d.h. ob sie Lösungen des Rätsels sind. (5) ist bei Vielfachen von 10 ohnehin erfüllt. Wollen Sie eine solche Probe? Dann geben Sie einen Zahlenbereich (Startwert/Endwert) für die Probe ein, aber nur Vielfache von 10.

Probe (per PHP-Programm):

  Gib den Startwert für die zu prüfenden Schülerzahlen:  
  Gib den Endwert für die zu prüfenden Schülerzahlen:  
 
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(letzte Änderung: 14.11.2016)