Rätsel: Bestimme die Anzahl der Kinder einer Dorfschule
Die Kinder einer Dorfschule werden aufgefordert, sich in Dreierreihen auf dem Schulhof aufzustellen. Da zwei Kinder übrig bleiben, ordnet der Lehrer an, sie sollen sich in Viererreihen aufstellen. Wieder bleiben zwei Kinder übrig und der Lehrer ordnet an, sie sollen sich in Fünferreihen aufstellen. Jetzt geht es auf.
Wie viele Kinder sind in der Schule?
Diese Fragestellung finden Sie bei
Wikipedia (Zahlentheoretisches Rätsel).
Im Folgenden gebe ich die Lösung in Einzelschritten an.
Zunächst die gegebenen Aussagen in Kurzform bzw. in mathematischer Formulierung. Dabei bezeichne immer N die gesuchte Anzahl der Schulkinder.
| (3) 3-er-Reihe: 2 Kinder bleiben übrig: | N/3 = i Rest 2 oder N = i*3 + 2 |
| (4) 4-er-Reihe: 2 Kinder bleiben übrig: | N/4 = j Rest 2 oder N = j*4 + 2 |
| (5) 5-er-Reihe: geht auf: | N/5 = k Rest 0 oder N = k*5 |
Erste Folgerungen:
- Wegen (4) gilt: N ist gerade
- Wegen (5) und weil N gerade ist, gilt weiterhin: N ist ein Vielfaches von 10
Weitere Folgerungen:
- Leicht zu prüfen: N != 10, d.h. 10 ist keine Lösung [!= meint ungleich]
- Es gilt weiterhin: N != k*20 (k=1,2,3,...) [ sonst wäre bei (4) Rest 0]
damit gilt auch: N != k*40 (k=1,2,3,...) - Es gilt weiterhin: N != k*30 (k=1,2,3,...) [sonst wäre bei (3) Rest 0]
- Leicht zu prüfen: N = 50 ist eine Lösung, als erstes Vielfaches von 10
- Dann ist auch N = 50 + n*60
jeweils eine Lösung (n=1,2,3,...)
n*60 lässt sich immer in Vielfache von sowohl 3 als auch 4 als auch 5 zerlegen [60 ist kleinstes gemeinschaftliches Vielfaches von 3 und 4 und 5]. Daher bleiben die Bedingungen (3), (4), (5) bei Addition von n*60 erhalten. - Aus den gleichen Gründen sind dieses auch keine Lösungen:
N != 10 + n*60 (n=0,1,2,3,...) (vergl. 3./7.)
N != 20 + n*60 (n=0,1,2,3,...) (vergl. 4./7.)
N != 30 + n*60 (n=0,1,2,3,...) (vergl. 5./7.)
N != 40 + n*60 (n=0,1,2,3,...) (vergl. 4./7.)
Lösung:
Die bisherigen Folgerungen umfassen alle Vielfachen von 10. Daher sind die unter 6. und 7. angegebenen Zahlenfolgen die einzig möglichen Lösungen:
N = 50 + n*60 (n=0,1,2,3,...)
Probe (per PHP-Programm):
Man kann eine Folge von Zahlen (Vielfache von 10) mittels Programm darauf prüfen, ob sie die Bedingungen (3) und (4) erfüllen, d.h. ob sie Lösungen des Rätsels sind. (5) ist bei Vielfachen von 10 ohnehin erfüllt. Wollen Sie eine solche Probe? Dann geben Sie einen Zahlenbereich (Startwert/Endwert) für die Probe ein, aber nur Vielfache von 10.