Überlegungen zur Corona-Pandemie
(wie man mit etwas Mathematik einen besseren Durchblick gewinnt)

Wie entwickelt sich die Anzahl der Infektiösen bei steigenden Infektionszahlen?

Die Ausbreitung einer Epidemie erfolgt zu Beginn exakt der Funktion 2x, zumindest solange natürliche Regulierungen und alle Gegenmaßnahmen außer Acht gelassen werden. Die zeitlich befristete Erzwingung von Abstands- und Hygieneregeln in Form eines "Lock Down" bringt die Anzahl der Infizierten ggf. deutlich herunter. Aber jede anschließende Lockerung bewirkt einen sofortigen Neustart der Infektionen mit wiederum exponentiellem Anstieg.

Interessanter ist die Frage, ob natürliche Randbedingungen das reale Infektionsgeschehen bremsen und in welchem Maße.

Das ursprüngliche schwedische Modell setzte darauf, eine natürliche Durchseuchung der Bevölkerung zuzulassen. Sobald eine große Anzahl von Genesenen und damit Immunen vorhanden ist, steckt jeder Infizierte im festgelegten Zeitraum (z.B. 1 Woche) weniger als einen Gesunden an und irgendwann - so die Hoffnung - Niemanden mehr. D.h. die Anzahl der gerade Infektiösen nimmt sehr bald schon entscheidend ab, sodass die Infiziertenzahl gebremst wird.

Gibt es tatsächlich wesentlich weniger Infektiöse als Infizierte?

Zu Anfang der Epidemie - und dort sind wir ja immer noch - ist das leider eine trügerische Hoffnung, wie man leicht erkennen kann:

Nehmen wir an, statistisch ist ein Infizierter nach m Wochen wieder gesund, d.h. steckt nicht mehr an und ist selbst immun. Dann berechnet sich die Anzahl der (noch) Infektiösen so:
Gesamtzahl aller bis dahin Infizierten:   2x,     davon abgezogen:
Gesamtzahl aller bis zum Zeitpunkt x-m Infizierten:   2x-m

2x - 2x-m = (1-2-m)*2x = (1-1/2m)*2x = α*2x    mit   0.5 ≤ α = 1-1/2m < 1

Gesamtanzahl der Infektiösen:

α*2x   (0.5 ≤ α < 1)     (m = 1,2,3,...: Dauer der Ansteckungsgefahr)

Die Anzahl der Infektiösen wächst also ebenfalls exponentiell. Deren Wachstum ist gegenüber dem der Infizierten lediglich leicht gedämpft durch einen Faktor α=1-1/2m, der geringfügig kleiner als 1 ist, z. B. α=1/2 (m=1) bzw. α=3/4 (m=2) bzw. α=7/8 (m=3). Die Anzahl der Infektiösen erreicht daher immer spätestens nach einer Woche die Anzahl der Infizierten der Vorwoche. Auch bei dieser Betrachtung sind schon nach etwa einem halben Jahr ca. 80.000.000 Menschen infiziert und in fast gleich hoher Anzahl infektiös. Ein weiterer Hinweis auf die Wucht des exponentiellen Wachstums.

  —————   2x
  —————   α*2x   ( α = 0.875 ,   m = 3 Wochen Infektionsdauer)
  —————   α*2x   ( α = 0.75 ,   m = 2 Wochen Infektionsdauer)
  —————   α*2x   ( α = 0.5 ,   m = 1 Wochen Infektionsdauer)

In der Realität hat die steigende Anzahl der Immunen natürlich tatsächlich eine bremsende Wirkung auf das Infektionsgeschehen, die jedoch nur mit einem verfeinerten Modell dargestellt werden kann.