Überlegungen zur Corona-Pandemie
(wie man mit etwas Mathematik einen besseren Durchblick gewinnt)

Wie verläuft das Infektionsgeschehen bei "natürlicher Durchseuchung"?

Die Ausbreitung einer Epidemie erfolgt zu Beginn exakt der Funktion 2x, zumindest solange natürliche Regulierungen und alle Gegenmaßnahmen außer Acht gelassen werden. Die zeitlich befristete Erzwingung von Abstands- und Hygieneregeln in Form eines "Lock Down" bringt die Anzahl der Infizierten ggf. deutlich herunter. Aber jede anschließende Lockerung bewirkt einen sofortigen Neustart der Infektionen mit wiederum exponentiellem Anstieg.

Das exponentielle Wachstum der Infiziertenanzahl wird auf natürliche Weise gebremst und schließlich zum Erliegen gebracht, nachdem die Bevölkerung weitgehend "durchseucht" ist, weil das Virus in dieser Situation öfter auf Genesene - d.h. Immune - als auf noch Uninfizierte trifft.

Mathematisch kann dieser Verlauf des Infektionsgeschehens durch eine Funktion modelliert werden, die in der Anfangsphase exponentiell anwächst und in der Endphase schließlich wieder vollständig verschwindet. Die absolute Höchstzahl an Infizierten, nach der die Abnahme der Infektionen eintritt, setzt man in der Regel bei ca. 2/3 des Gesamtbevölkerung an.

Einfacher Ansatz für ein entsprechendes Infektionsmodell:


2ε*x*(2*K-x)


Das Modell beschreibt den steilen Anstieg der Infizierten in der Anfangsphase der Epidemie (gemäß 2x),
aber auch die Abnahme der Infektionszahlen (gemäß 2-x) nach Erreichen eines Höchstwertes.

Der Exponent wird 0 (und damit der Funktionswert 1) in den Punkten x=0 (zu Anfang) und in x=2*K. Dazwischen hat der Exponent und damit auch die Funktion ein Maximum (ε > 0 !), und zwar genau in x=K (wie eine einfache Kurvendiskussion zeigt).

Der Zeitpunkt K des Höchstwertes der Infektionszahlen und damit des Beginns der Abnahme hängt von dem freien Parameter ε>0 ab:
K = √ω/ε,     ω = ln(β*N)/ln(2)
N = Gesamtbevölkerungszahl,    β = 2/3,    ln(): natürlicher Logarithmus

Herleitung:   β*N = 2ε*K*(2*K-K) = 2ε*K*K = eln(2)*ε*K2
ln(β*N) = ln(2)*ε*K2
K2 = ln(β*N)/(ln(2)*ε) = ω/ε     [ω = ln(β*N)/ln(2)]

Grafische Darstellung der Modellvarianten:

  —————   2x
  —————   2ε*x*(2*K-x)   ε = 0.008   [ --> K = 56.7]
  —————   2ε*x*(2*K-x)   ε = 0.012   [ --> K = 46.3]
  —————   2ε*x*(2*K-x)   ε = 0.016   [ --> K = 40.1]
  —————   N   = 83000000   (Gesamtbevölkerung)
  —————   β*N = 55333333   (2/3 der Gesamtbevölkerung)

In wissenschaftlichen Betrachtungen sind derartige Modellfunktionen natürlich komplexer. Sie hängen von etlichen weiteren Parametern ab, die durch Abstands- und Hygieneregeln sowie durch Impfungen gesteuert werden. Ziel ist es immer, den Höchstwert an Infizierten deutlich kleiner zu halten, als er bei einer ungehinderten Durchseuchung wäre, denn schon bei einem Bruchteil der hier skizzierten Infiziertenzahlen würde das Gesundheitssystem zusammenbrechen.